CalcCalculadora de Combinaciones
Calculadora de Combinaciones. Free online calculator with formula, examples and step-by-step guide.
Calculadora de Combinaciones: Cuenta Posibilidades con nCr y nPr
La calculadora de Combinaciones calcula combinaciones (nCr), permutaciones (nPr) y factoriales para cualquier número entero positivo. Desde calcular probabilidades de póker hasta analizar probabilidades de lotería, desde programar partidos de torneos hasta contar posibilidades en secuencias de ADN, la combinatoria es la matemática de contar sin tener que enumerar cada opción. Esta calculadora facilita encontrar exactamente de cuántas formas puedes seleccionar, ordenar o combinar elementos.
Fórmulas de Combinaciones y Permutaciones
Combinaciones: nCr = n! / (r! × (n − r)!)
Permutaciones: nPr = n! / (n − r)!
Factorial: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 1
Donde n es el número total de elementos, r es la cantidad seleccionada u ordenada, y ! representa la función factorial. La fórmula de combinaciones incluye el denominador r! que elimina el orden, mientras que la de permutaciones mantiene el orden. Por convención, 0! = 1.
La relación es intuitiva: cada combinación de r elementos puede ordenarse de r! formas diferentes. Por tanto, nPr = nCr × r!. La función factorial crece rápidamente: 10! = 3,628,800 pero 20! ya supera los 2.4 quintillones. Este rápido crecimiento explica por qué los factoriales se usan para contar posibilidades astronómicas en campos como la criptografía.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Probabilidades de Póker
¿Cuántas manos diferentes de 5 cartas pueden repartirse de una baraja de 52 cartas? ¿Cuál es la probabilidad de recibir un flor imperial?
Manos totales (52C5): (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 311,875,200 / 120 = 2,598,960
Hay exactamente 4 flor imperiales posibles (una por palo). La probabilidad es 4 / 2,598,960 = 1 entre 649,740, o aproximadamente 0.000154%.
Si juegas 100 manos de póker por semana, verías un flor imperial aproximadamente una vez cada 125 años.
Ejemplo 2: Selección de Comité
Un club tiene 12 miembros y necesita seleccionar un comité de 4 personas. De esos 4, uno será presidente, uno vicepresidente, uno secretario y uno tesorero. ¿Cuántos comités diferentes son posibles? ¿Cuántas formas de asignar los roles?
Comités (combinaciones, orden irrelevante): 12C4 = (12 × 11 × 10 × 9) / (4 × 3 × 2 × 1) = 495
Asignaciones (permutaciones, orden importa): 12P4 = 12 × 11 × 10 × 9 = 11,880
Hay 495 comit&e9;s pero 11,880 formas de asignar los cargos. 11,880 / 495 = 24 = 4!, confirmando que cada comité puede ordenarse de 4! formas.
Usos Comunes
- Cálculo de probabilidades en juegos de cartas, dados y casino
- Análisis de probabilidades de lotería como Powerball y Lotería Nacional
- Determinación de subconjuntos de preguntas para diseño de exámenes
- Conteo de resultados en planes de control de calidad en fabricación
- Cálculo de probabilidades binomiales en estadística
- Problemas de optimización en programación y asignación de recursos
Errores Comunes
- Usar combinaciones cuando el orden importa (deberían ser permutaciones) — para contraseñas y clasificaciones se usa nPr
- Confundir nCr con rCn — nCr solo se define para r menor o igual que n
- Tratar elementos idénticos como distintos — la fórmula asume que todos los n elementos son distinguibles
- Olvidar que 0! = 1 — esencial para que las fórmulas funcionen cuando r = 0 o r = n
Consejo Profesional
Al calcular combinaciones mentalmente, usa el "truco de cancelación". Para 52C5, calcula (52/1) x (51/2) x (50/3) x (49/4) x (48/5). Cada paso cancela el denominador en el numerador: 52; luego 52 x 51 / 2 = 1,326; luego 1,326 x 50 / 3 = 22,100; luego 22,100 x 49 / 4 = 270,725; finalmente 270,725 x 48 / 5 = 2,598,960. Este método mantiene los números manejables sin tener que lidiar con factoriales enormes.
Preguntas Frecuentes
Combinaciones (nCr): el orden NO importa. Permutaciones (nPr): el orden SI importa. Ej: comité usa combinaciones; estante de libros usa permutaciones.
nCr son los subconjuntos únicos de tamaño r de n elementos. Es el coeficiente binomial. 52C5 = 2,598,960 son las manos posibles de póker.
n! es el producto de enteros hasta n. nCr = n! / (r! x (n-r)!) usa factoriales dividiendo por el factor de sobreconteo.
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